几何学——想象力与创造力的天堂，不断改变人类理解世界的方式( 三 ) 营口

米歇尔·沙勒在射影几何中强调了6个交比（或称非调和比）， 4个共线点或4条共点线的（c-a）/（c-b）∶（d-a）/（d-b），以及这些比在射影变换下的不变性。他的《论高等几何》在确立有向线段在纯几何中的使用上也很有影响。沙勒的《几何学中的方法的起源与发展简史》也很有名，他是法国最伟大的射影几何学家之一。他在晚年开创了枚举几何学的研究，这是代数几何学的一个分支，其任务就是要借助几何解释来确定代数问题的解法的数量。在这个领域以及其他领域，他极其出色地利用了“对应原理” 。
综合度量几何学：施泰纳
沙勒的成果在很多方面与几个德国几何学家的成果相重叠。其中最著名的是雅各·施泰纳，他一直被认为是现时代最伟大的综合几何学家。在他的手上，综合几何取得的进展比得上早些年分析学所取得的进展。他非常不喜欢解析的方法。解析这个词暗示了一定数量的技术或机械；解析法常常被称作一个工具，而工具这个说法从未应用于综合法。施泰纳反对几何学中一切种类的工具或“小道具” 。他只用综合的方法来论证，在发表于《克列尔杂志》上的一篇论文中，有一个引人注目的定理看上去自然属于分析学：一个三次曲面只包含27条线。
施泰纳还证明了，只要给你一个固定的圆，欧几里得的作图可以只用直尺来作。这个定理表明，在欧几里得的几何中，你不可能完全没有圆规，但是在用圆规画一个圆之后，你就可以丢掉圆规，只用直尺
施泰纳的名字在很多方面被人们所记忆，包括施泰纳点的属性：如果你用所有可能的方式把一条圆锥曲线上的6个点连成帕斯卡尔的神秘六边形，你就获得了60条帕斯卡尔线，三条三条地相交于20个施泰纳点。在施泰纳未发表的发现当中，有一些发现涉及到那种富有成果的被称作“反演几何”的几何变换：

若两个点P和P'在一条射线上，这条射线源自一个半径为r（r≠0）的圆C的圆心O ，且OP和OP'这两个距离的积是r2 ，则我们就说， P和P'互为关于C的反演点。对圆外的每个点P ，圆内都有一个对应的反演点。由于当点P与圆心O重合时圆外不存在点P'与P对应，于是我们就有了一个悖论，它在某种意义上类似于波尔查诺的悖论：每个圆（不管它多么小）的内部所包含的点，可以说比圆外部分还要多一个点。我们用完全一样的方式，很容易在三维空间里定义一个点关于一个球体的反演点。

很多平面或立体反演几何的定理，都很容易通过解析或综合的方法来证明。特别是，我们很容易证明：在反演变换下，一个不通过反演中心的圆被变换为一个圆，而一个通过反演中心的圆被变换为一条不通过反演中心的直线（类似的结论对三维反演几何中的球体和平面也适用）。更难证明的是这样一个更重要的结论：反演是保角变换，也就是说，在反演几何中曲线之间的夹角得以保持。保角变换很不寻常，这一点可以从约瑟夫·刘维尔所证明的下面这个定理中清楚地看出：在空间里，唯一保角的变换是反演变换以及相似和全等变换。施泰纳没有发表他的关于反演的观念，反演变换被这个世纪的其他数学家几次重新发现，其中包括开尔文勋爵， 1845年，他通过物理学得出了反演变换，并把它应用于静电学中的问题。
如果半径为a的反演圆的圆心O是一个笛卡尔坐标系的原点，那么点P（x ， y）的反演点P'的坐标x'和y'被下面的公式给出：

这两个公式后来启发了路易吉·克雷莫纳，他研究更加一般化的变换x'=R1（x ， y）、y'=R2（x ， y），式中R1和R2是有理代数函数。这样的变换（反演变换只是其特例）被称作克雷莫纳变换，以纪念这个在1863年发表关于它们的介绍的人，他后来针对三维空间把它们进行了一般化。
综合非度量几何学：施陶特
施泰纳在他1832年出版的《几何图形之相互依赖性的系统发展》中论述了基于度量考量的射影几何。若干年后，纯几何学找到了另一位德国信徒，他就是高斯的学生K.G.C.冯·施陶特，他1847年出版的《位置几何学》构建了不涉及量或数的射影几何学。施陶特的几何学极其重要，因为它显示了射影几何如何能在没有距离概念的情况下建立起来，因此为下面这个观念铺平了道路：有一种非度量几何，可以在它的基础上定义距离概念。几年之后，法国的拉盖尔讨论了把度量强加给非度量角度几何学的可能性。然而，正是阿瑟·凯莱，后来在他的“六论齐次多项式”中，对于在射影几何的基础上定义度量的整个概念，提出了最有影响的阐述。