所以这个系统被认为是“平移对称的” ， 因为我们对它做的“任意变换”是向右平移λ单位 。 另一方面 ， 对系统做一个小的改变就可以使这种对称性变得无效 。 假设在这个系统中有一颗行星 。 离这颗行星越近的质量 ， 其引力势能就越小；而离它越远的质量 ， 其引力势能就越大 。 因此 ， 这个系统不被认为是平移对称的 。
这就是对称部分 。 守恒定律是什么意思？简单地说 ， 守恒量就是那些既不能被毁灭也不能被创造的量 ， 只是从一种形式转化成另一种形式 。 一些守恒量是能量 ， 动量和电荷 。
但是为什么呢？为什么
守恒量是指在一段时间内数量保持不变 ， 既不能被创造也不能被毁灭的东西 。 描述这些量的定律叫作守恒定律 。
具体说 ， 它假定平移对称意味着动量守恒 。 事实上 ， 如果宇宙中每一颗原子向右移动1米 ， 我们就无法分辨出它们的区别 。 但问题来了 。 什么时候动量不是守恒的？
让我们假设一个苹果掉下来 。 如果苹果向地面移动2单位 ， 它的重力势会更小 ， 速度会更大 。 因此 ， p=mv在两种情况下并不相同 。 这个系统被认为是平移不对称的 。
但如果我们考虑整个宇宙 。 将所有东西向左或向右移动几个单位 ， 你不会注意到有什么东西的位置发生了变化 。 这一定意味着能量是守恒的 ， 因此 ， 动量也是守恒的 。 重点是平移对称意味着动量守恒 。
但是旋转对称呢？同样的道理 。 把地球和苹果看作一个系统 。 但苹果并没有落下 ， 而是绕着地球转 。 我们说这里的守恒量是角动量 。 如果这个物体沿着一个球形轨道运行 ， 就像下图所示 ， 那么这个物体在任何给定位置的总能量都保持不变 。 所以它在这个轴上有旋转对称 。
平移对称→动量守恒
我们已经讨论过空间中系统的变换 。 但是在时间上平移系统意味着什么呢？换句话说 ， 假设有一个系统 ， 在某一特定时刻t ， 与t + λ时刻的系统比较 。 如果系统的能量不变 ， 那么它被认为是时间平移对称的 。 诺特说什么是守恒的？能量 。
旋转对称→角动量守恒
下面的内容 ， 你不需要费心去完全理解 ， 我只是将其展示出来 。 这是一系列精妙的数学运算得出的最深刻的证明之一 。
时间对称→能量守恒
可以看作是ε的函数 ， 计算在ε'=0处的导数 ， 利用莱布尼茨法则 ， 得到：
注意欧拉-拉格朗日方程所暗示的：
把这个代入前一个方程 ， 得到：
再一次应用欧拉-拉格朗日方程 ， 得到：
代入前一个方程 ， 得到：
从中 ， 我们可以看到
是一个运动常数 ， 它是一个守恒量 。 由于
得到
所以守恒量化简为
这就是诺特对
上面的数学路线包括了一个独立变量的推导 。 也有类似于早先探讨过的平移和
正如她所假设的 ， 并不是所有的能量都会扭曲时空 。 只有应力-能量张量中的能量才重要 。 应力-能量张量是一个数学对象 ， 它包含了所有关于扭曲时空的能量的信息 。
张量有4种信息 。 其中两个是“电荷” ， 是守恒的东西：
- 场的能量
- 场的动量
到目前为止 ， 有4个分量：1个能量 ， 3个动量（因为动量是一个矢量 ， 它可以在任意的x y和z方向上分解） 。 另外两种类型的信息是“通量”：
