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你关注过有界数列的充要条件吗？看数列祖孙三代的前世今生


你关注过有界数列的充要条件吗？看数列祖孙三代的前世今生


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有界数列一般都比较直观 ， 或者可以通过观察图像 ， 或者可以通过不等式证明来确定 ， 所以很少人会去关注有界数列的充要条件 。 不过这个充要条件却是真实存在的 。 而且还相当有趣！

证明：{xn为有界数列的充要条件是{xn的任一子列都存在它的收敛子列.
换句话说 ， 就是老子有界 ， 只要也必须每一个儿子都有收敛的孙子 。 老黄这里有一个疑问：为啥不在儿子辈就把问题解决了 ， 非要牵涉到第三代呢？也就是说 ， 为什么这个充要条件不能是：有界数列的任一子列收敛？下面老黄先分享证明过程 ， 然后再解释这个问题 。
证：[必要性
有界数列{xn的任一子列{x_(nk)也都有界.【老子有界 ， 儿子也有界 ， 所以说人一生出来 ， 很多东西就被确定了】
由致密性定理知每个有界子列必存在收敛子列{x_(n_(kj))【致密性定理：有界数列必有收敛子列 ， 是聚点定理的推论】
由{x_(n_(kj )?{x_(nk )?{xn ， 得证！
[充分性
已知{xn的任一子列都存在它的收敛子列 ， 【先设每个儿子都有收敛的孙子 ， 证明老子有界】
若{xn无界 ， 则必有某子列{x_(nk)为无穷大量 ， 【反证法 ， 如果老子是富豪 ， 儿子就是富二代 ， 必有某个儿子继续了无穷的家产】
【你关注过有界数列的充要条件吗？看数列祖孙三代的前世今生】即lim(n→∞)|x_(nk )|=+∞ ， 【这个儿子叫“国民老公”】
∴{x_(nk)的一切子列{x_(n_(kj))都是无穷大量 ， 矛盾.【这个儿子的孙子全是富三代 ， 不收敛 ， 其实就是收敛于无穷大 ， 高数很烦人 ， 一会儿说收敛于无穷大算一种收敛 ， 一会儿又不算 。 显然 ， 这里是不算的 。 但然 ， 它也有可能在无穷大的地方振荡 ， 只要振荡 ， 就不收敛 。 这里可以说 ， 不能确定收敛】
∴{xn是有界数列.【这就证明了老子是个穷胚】

回过头来 ， 我们看看为什么这个充要条件不能削弱为“老子没钱 ， 只要看所有儿子收敛 ， 也必然所有儿子都收敛” 。 因为存在一些老子没钱 ， 儿子还很放荡不羁的 ， 就是数列有界 ， 但却存在振荡不收敛的子列 。 而只有部分子列收敛又无法确定原数列有界 。 只有每个儿子都生出窝囊的孙子 ， 才能确定 ， 也必可以确定 ， 老子一定是一个穷鬼！

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