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也许现代物理学最基本的思想是作用原理（action principle） 。 物理学的任何领域都被这一规则支配 。 我们将开始一段旅程 ， 从光穿过水的场景开始 ， 最终以量子力学的讨论结束 。
光线和费马原理
考虑一束光从A点出发 ， 穿过水面到达B点 。 这束光的路径是怎样的？我们可以假设它沿直线运动以使距离最小化 。 然而 ， 在现实中 ， 光线并不是这样传播的 。 相反 ， 它在空气和水的边界处被折射 。
但是为什么呢？1662年 ， 皮埃尔·德·费马找到了答案 。 他解释 ， 光从一点到另一点的路径使它的传播时间最小化 。
根据这一原理 ， 以及光在不同的介质中的速度不同 ， 我们可以用数学推导出斯涅耳折射定律：
费马原理表明 ， 光在两点之间的路径总是使它的传播时间最小化 。
- 斯涅耳折射定律
我们之前看到光总是沿着（时间）最短的路径移动 。 1788年 ， 约瑟夫-路易斯·拉格朗日扩展了这个想法 。 他提出 ， 任何在空间中运动的粒子都会使其作用最小化 。
但它的“作用”究竟是什么呢？在物理学中 ， 作用是描述物理系统随时间变化的标量 。 作用是重要的 ， 因为系统的运动方程可以通过静止作用原理（最小作用原理）推导出来 。 更正式地说 ， 作用是一个数学泛函 ， 它以系统的轨迹（路径）为参数 ， 以实数为结果 。 通常情况下 ， 不同的路径有不同的作用量 。 机械系统S的作用 ， 例如 ， 一个球被抛向空中 ， 有这样精确的数学定义 ，
作用原理指出 ， 运动中的粒子总是沿着使其作用幅度最小的空间路径运动 。
首先 ， L称为系统的拉格朗日量 ， 它是系统的动能T与势能V之差 。
- 拉格朗日量就是系统的动能和势能之差
我们如何在空间中找到一条S最小的路径？结果表明 ， 产生最小作用的路径也满足一个叫做欧拉-拉格朗日方程的方程 ，
拉格朗日量在现实中没有物理意义 。 它只在数学上有用 。
- 欧拉-拉格朗日方程
回到扔球的例子 ， 把它的拉格朗日量（球的动能减去它的重力势能）插入到欧拉-拉格朗日方程中 ， 就得到了它的运动方程 。 这些运动方程描述了抛物线路径 ， 假设没有空气阻力 。
- 球以初始角度theta发射的轨迹
但是当这些物体很小的时候会发生什么呢？例如 ， 单个电子 ， 在这些情况下 ， 我们必须求助于量子力学 。 1948年 ， 理查德·费曼利用作用原理 ， 将量子力学定义为路径积分 ，
- 量子力学的费曼路径积分公式
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