数论中最具创新和美丽的证明之一，等差级数的狄利克雷定理( 二 ) 美丽

这里求和是所有模为m的特征，第一个特征上的横杠是这个特征的复共轭。
从欧拉函数到L-函数欧拉研究了ζ函数，发现素数和自然数之间有一个美丽的联系，称为欧拉乘积。令s＞1 ，那么

s实际上可以是复数（由黎曼推广），但在欧拉的时代，复数分析还处于初级阶段，他只考虑s为实值。
这实际上给出了“有无限多个素数”的另一个证明。欧拉注意到如果对方程两边取对数会发生一些有趣的事情，

现在回想一下对数的泰勒级数展开

因此我们得到，

当s向右趋近于1 。
我们看到， log ζ(s) =∑1/p^s加上某个有界函数。有很多方法来证明这个渐近界O（1）。一种方法是回到对数的和。我们可以用微积分的各种方法证明，如果0 < x ≤ 1/2，那么 -log(1 - x) < x + x2 。
因为对于所有质数p和s > 1 ， 1/p^s ≤ 1/2 ，我们可以用这个引理代入得到

这显示了一个显式的边界和欧拉著名的巴塞尔问题解的一个很好的应用。通过这种方法，我们不仅确定了有无限多个质数，而且知道∑1/p是发散的。这样，我们就可以有把握地说，质数在自然数中比平方数的密度大。
尽管质数倒数的和发散的速度很慢。实际上，我们可以从上面看到它的发散近似于loglogx 。这是一个增长极其缓慢的函数。例如，这个函数要超过数字4 ，需要x大于

这是一个有24位的数字。狄利克雷的想法是试图将这个结果推广到素数的子集即等差数列中的素数。注意下面的等差数列

可以表示为

换句话说，狄利克雷想要证明，如果gcd(a m) = 1 ，我们得到的结果

是发散的。
为了做到这一点，狄利克雷有了第二个奇迹般的洞察。结果是ζ函数有很多“表亲” ，它们显示出和ζ函数相同的性质包括欧拉乘积。这类函数是狄利克雷的第二大发现。
由于狄利克雷特征是完全乘性的，因此它们对应的狄利克雷级数也有欧拉积。具体地说，我们有关于χ的狄利克雷L-级数的定义：

我们假设s > 1 。
这也可以定义为复数s 。通过解析延拓，这个函数可以扩展为整个复平面上的亚纯函数，称为狄利克雷L-函数。

在复平面上定义ζ函数时，称为黎曼ζ函数。

因为所有的狄利克雷特征都是完全乘性的，这个级数也有一个欧拉积，

注意，对于具有平凡特征的狄利克雷L-级数的定义，即χ(n) = 1对于所有n ，给出了通常的带有欧拉乘积的ζ函数。这使得狄利克雷L-函数成为了ζ函数的推广。

事实上，这些函数与黎曼ζ函数非常相似，它们不仅具有等价的欧拉乘积，而且在Re(s) = 1/2这条线周围有一个漂亮的对称关系。此外，它们被期望满足一个与黎曼假设等价的命题，但这尚未得到证明。

狄利克雷的证明一旦狄利克雷建立了特征的欧拉积，接下来的逻辑步骤是对两边取对数，得到质数的和

再一次，通过类似于上面的论证，我们可以用渐近函数来重写它

这仅仅意味着，当s→1时，右边的和的增长近似于左边。从这里，狄利克雷有了一个伟大的想法。他用正交关系把它变成了他想要的形式。具体地说，如果我们在上面的方程两边乘以χ (a)的复共轭，然后用模m对所有的特征求和，我们得到如下结果

这太神奇了。狄利克雷用他的特征定义了一个（全纯）函数，它是等差数列

中所有素数的和。
现在，狄利克雷“只”需要证明左边在s→1时发散。
证明这一点的策略是，通过将特征分组到三个不相交的集合，

这样做的原因之一是，对于任何非主特征的χ ，结果表明级数L(s ， χ)对于s>0是收敛的。

其策略是证明L(s ， χ0)在s = 1处有一个简单的极，即对应的L级数是发散的，如果χ是一个非主特征，则L(1 ， χ)≠0 。

第二个原因是，我们需要确保L(s ， χ0)的极点不会被“log(0)”这样形式的负无穷吞噬。
第一个（主特征），很简单，可以用很多方法证明。例如，我们可以检验，

观察一下，右边除模m的质数的乘积总是有限的——事实上，当s = 1时，你可以检查它等于?(m)/m 。所以左边的级数从ζ (s = 1)继承了极点。