数论中最具创新和美丽的证明之一，等差级数的狄利克雷定理美丽

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研究质数最有力的工具之一是狄利克雷特征理论。 1805年，一位天才在法国诞生。他的名字叫彼得·古斯塔夫·列琼·狄利克雷。狄利克雷12岁时就对数学感兴趣， 1822年他去巴黎学习。几年后，他证明了费马大定理的一个特殊情况，即n = 5的情况。这使他在数学界名声大噪。 1832年，狄利克雷成为普鲁士科学院最年轻的成员，只有27岁。
1837年，狄利克雷开始思考一个问题，它彻底改变了我们研究整数的方法。数学家们知道素数有无限多（公元前300年欧几里得证明了这一点），但在当时，研究自然数子集中的素数似乎是遥不可及的。但后来狄利克雷有了一个好的想法。当时的先驱们正在积极地发展复变分析，创造出了许多分析工具。他利用这些工具来研究整数，从而将复分析和数论结合起来。
他想要解决的问题是：

对于任意两个互质整数a和m ，有无穷多个a + nm形式的质数，其中n是一个正整数。

狄利克雷证明了这个命题，现在这个定理以他的名字命名，叫做等差级数的狄利克雷定理。为了证明这一点，狄利克雷发明了一类完全乘性函数，现在称为狄利克雷特征（Dirichlet characters）。
狄利克雷特征设m为自然数。模m的狄利克雷特征是函数χ：?→? ，从整数到复数，满足以下条件。

χ(ab) = χ(a)χ(b) 。
如果gcd(a m) >1 ， 1则χ(a) = 0 ，否则χ(a)≠0 。
χ(a + m) = χ(a) 。

从这些性质，还可以推导出其他一些性质。例如，根据上面的第二个性质：χ(1)≠0 ，因此，我们可以除以它，得到χ(1)χ(1) = χ(1)?1 = χ(1) ，这意味着，对所有特征都有χ(1) = 1 。所以我们有

对于所有的χ ， χ(1) = 1 。

我们看到χ(-1)2 = χ((-1)2) = χ(1) = 1 ，因此χ(-1) = 1或χ(-1) = -1 。

我们称这个符号为特征的奇偶校验；如果χ(-1) = 1 ，则称其为偶，如果χ(-1) = -1 ，则称其为奇。注意，对于任何模m ，有一个特殊的特征称为主特征χ0 mod m 。它由以下方法定义

如果a≡b (mod m) ，那么上面的第三个性质说明， χ(a) = χ(b) 。

其他一些属性是可派生的。其最重要的性质之一是它们都是乘法群之间的同态，因此在复平面的单位圆上取值。我们在这里不讨论特征的群方面，开始之前，有两个知识需要知道。
第一个是欧拉函数? 。我们定义? (n)为小于n的正整数中与n互质的数的数目。即自然数k＜n使gcd(k n) = 1 。例如， ?(10) = 4 ，因为有4个小于10的自然数与10互质。
我们需要知道的第二个知识是关于狄利克雷特征的一个事实叫做正交关系，