洛伦兹变换——狭义相对论中最重要的数学概念，同时性的终结( 三 ) _洛伦兹

让我们重申一下我们正在做的事情的要点。事件t ， x ， y ， z在时空中是由一个观测者用他的坐标系描述的。惯性系S'中的另一个观察者O'用他的坐标系描述了相同的事件t' ，x' ， y' ， z' 。基本的问题是：坐标t ， x ， y ， z和t' ， x' ， y' ， z'有什么关系？和往常一样，我们假设两个坐标系都是标准构型。
我们已经知道，如果第二个假设是正确的（光速c对所有惯性观测者来说都是恒定的），就不能用伽利略变换来比较一组坐标和另一组坐标。相反，我们使用洛伦兹变换。稍后我们将推导洛伦兹变换。现在我们只给他们表达式。
我们从洛伦兹因子开始，用希腊字母γ表示，其中：

ν是另两个坐标系统的相对速度， c是光速。从这个方程的结构中看出，如果ν大于等于c ，就会出现零或负数的平方根， γ的表达式变得没有意义，这表明c是自然界中可能的最大速度。因此我们只考虑v小于c的情况。
现在我们看到，当ν≠0时，洛伦兹因子总是大于1 。对于正常的日常速度，它会非常非常接近1 ，下图显示了洛伦兹因子随速度ν的变化情况：

洛伦兹因子作为速度的函数。

对于不同的ν/c值，洛伦兹因子的值如下：

ν/c	γ
0.000	1.000
0.100	1.005
0.300	1.048
0.500	1.155
0.700	1.400
0.900	2.294
0.990	7.089
0.999	22.366

洛伦兹因子代入洛伦兹变换，得到坐标t' ， x'， y' ， z'的值。
洛伦兹变换是：

洛伦兹反变换（给出坐标t x y z的值）是：

注意，当ν＜＜c时，洛伦兹变换近似于伽利略变换：

观察洛伦兹变换的一个有用的方法是，它允许我们在时空图上，校准第二坐标系的轴。
推导洛伦兹变换
我们现在可以推导洛伦兹变换。记住，我们试图找到事件在两个惯性系S和S’中的坐标之间的关系， S’以ν相对于S的速度运动。我们假设两个坐标系都是标准构型（所以我们可以忽略y和z坐标，而专注于t和x坐标）。

式1

牛顿第一定律适用于所有的惯性系，也就是说这些系统不能加速，因此我们省略平方项及更高次幂项，得到：

式2

现在我们需要找出未知常数：

因为坐标系是标准构型，我们知道当原点与t' = t = 0和x' = x = 0重合时。因此它必须有：

我们现在可以说：

式3

式4

在时间t之后，坐标系S'（由x' = 0给出）的原点在坐标系S中移动了距离x = vt ，因此我们可以将上式改写为：

也就是：

用式4除以式3 ，并把上式带入b_2得到：

式4

在时间t'之后，坐标系S（由x = 0给出）的原点在坐标系S'中的x' = -vt'处。因此可以将式4重写为：

得到a_1=b_1 ，带入式4得到：

式5

现在回想一下，狭义相对论的一个假设是，真空中的光速，在所有的惯性参照系中，都有相同的c值。这意味着，如果一束光从原点沿x轴正方向发射（ct = 0 x = 0），它的速度为c = x'/t'以及c = x/t ，我们可以将其代入式7得到：

整理得：

因为a_1=b_1 ，所以有：

重写式3为：