洛伦兹变换——狭义相对论中最重要的数学概念，同时性的终结( 四 ) _洛伦兹

式9

我们快成功了。现在将式8和式9代入式7得到：

我们已经证明了这个常数a_1就是洛伦兹因子γ 。
洛伦兹变换矩阵形式
洛伦兹变换的另一种表达方式是矩阵形式：

式10

右边的4 × 4矩阵叫做洛伦兹变换矩阵。

除以c得到：

也就是t'的洛伦兹变换。类似地，我们通过将右边两个矩阵相乘得到x'， y'和z' 。当我们讨论广义相对论中的向量和张量时我们会更详细地研究变换矩阵。用指数表示法，把洛伦兹变换矩阵写成更紧凑的形式：

式11

其中：

表示式10左侧的列向量，

是洛伦兹变换矩阵，

是式10右边的列向量，指数μ和ν取0到3的值，所以分量

是：

分量

是：

变换矩阵的分量是：

其中μ指的是行， ν指的是列。
这个量：

是“四位置”（我们第一个关于四矢量的例子），它用ct ， x ， y ， z四个分量来描述时空中的事件或位置。
严格地说，式11中的方括号意味着我们引用的是矩阵。我们可以把这个方程写成矩阵的分量的形式：

根据爱因斯坦求和约定，例如， μ=3时，那么

从现在开始，我们将经常使用这种简写的指数表示法。
第二个观察者
在上一篇文章中，我们利用光速c的恒常性在坐标系S'的时空图上构造第二个惯性坐标系S的坐标线ct'和x' 。我们现在可以用洛伦兹变换用代数方法描述这些轴。
ct'的洛伦兹变换为：

式12

我们要求出x'轴的方程，也就是ct' = 0的直线。式12则为：

得到：

式13

也就是x'轴的方程。类似地， x'的洛伦兹变换是：

我们要求出ct'轴的方程，也就是x' = 0的直线。因此我们可以这样写：

得到：

乘以光速得：

式14

这是ct'轴的方程。

用洛伦兹变换求第二个观测者的坐标线。

间隔转换规则
洛伦兹变换告诉我们事件（即时空中的单点）是如何从一个坐标系转换到另一个坐标系的。如果在时空中有两个事件，那么相应的时间坐标和空间坐标之间就会有差异。正如我们已经注意到的，这些差异Δt ，Δy ， Δx ， Δz称为间隔。
了解时空间隔是如何变换的是非常有必要的。我们推导出区间变换的规则如下。对于标记为1和2的两个事件，洛伦兹变换为：

式15

式16

如果我们能知道：

和

我们就知道了这些间隔的变换规则

式17

式18

其中：

类似地，使用反洛仑兹变换，得到：

式19

式20

固有时和时间膨胀
在前面的文章，我们讨论不变双曲线的性质时，提到了时间膨胀的反直觉现象。现在我们用洛伦兹变换更仔细地观察时间膨胀。
到目前为止，我们一直使用的是坐标时间，坐标时间指的是一个遥远的观察者用自己的时钟测量的时间。正如我们所看到的，每个惯性系都有自己的时间坐标（时空图上不同的时间轴）。坐标时间因观测者的不同而不同。但是观察者用他们自己的时钟测量的时间呢？这是一个不变的时间度量，称为固有时，我们可以用它来计算时间膨胀。

在实验室系统S中运动的粒子

假设我们在一个实验室里研究亚原子粒子，它们在正x方向上以恒定速度ν运动。假设我们正在研究的粒子是短命的，它是在一个我们称之为事件1的时空点上产生的，然后在另一个标记为事件2的点上衰变。
我们是观察者O ，如果，事件1和事件2发生，那么我们测量粒子的寿命：

粒子移动的距离是：

但是还有一个很明显的参考系需要考虑，那就是S'坐标系中的观察者O' ，和粒子一起运动。这叫做粒子的静止坐标系。