洛伦兹变换——狭义相对论中最重要的数学概念，同时性的终结( 五 ) _洛伦兹

你可以想象一下这样的场景，你正在驾驶一辆汽车，在你旁边的副驾驶座位上有一个购物袋。购物袋等价于粒子，你是观察者O' ，而汽车是袋子的静止坐标系S' 。站在路边的人们会看到购物袋以每小时70英里的速度从他们身边呼啸而过。但对你来说，这个袋子是固定的。

静止坐标系S'中的粒子

上图显示了静止坐标系S'下的粒子。就像购物袋相对于你是静止的，所以根据观察者O' ，粒子在产生和衰变之间不会在空间上移动。
在狭义相对论中，固有时是观察者在其静止坐标系中测量的时间。固有时用希腊字母tau（τ）表示。在我们的例子中，我们可以想象一个精确的时钟绑在粒子上。这是难以想象的，所以考虑粒子的自然“内部时钟”可能会更容易，这种未知的机制最终会对粒子说， “恐怕时间到了。 ”内部时钟记录的时间是粒子的固有时间。
对于粒子，事件1和事件2之间的固有时为：

现在我们有两种测量粒子寿命的方法：（1）坐标时间：

我们用实验室里的仪器进行测量，以及（2）固有时：

这是通过粒子自身的内部时钟来测量的。我们可以用间隔变换规则将两者联系起来：

因为：

所以：

另一种观察这个过程的方法是，一个过程需要一个特定的固有时，而另一个相对于静止坐标系运动的观察者所测量到的持续时间更长，即运动的时钟运行缓慢。这就是我们在上一篇文章中讨论的时间膨胀现象。

黑色箭头TD是由O'沿着ct'轴测量的B = 1事件的时间膨胀ΔT 。我们如何计算黑箭头TD的长度？我们发现事件B的固有时由O'测得：

长度收缩
我们已经用时空图来探索长度收缩的现象。现在，我们更仔细地看看使用洛伦兹变换的长度收缩。

在实验室坐标系中的杆子（棒）

上图显示了在实验室惯性坐标系S下，杆以速度ν沿x轴纵向运动。杆的长度L可以通过假设杆的一端（对应于事件1）和另一端（对应于事件2）来测量。杆子的长度将为：

现在，就像我们对时间膨胀所做的那样，考虑杆处于静止坐标系S’中，杆沿x’轴静止，如上图所示。我们知道事件1和2仍然会发生在杆的末端，但我们不知道这些事件发生的时间。如果，在静止坐标系中，事件1和事件2分别发生，观察者O'将测量杆的长度（称为杆的固有长度）：

因为我们不知道

因此也不知道：

但这不是问题，因为我们可以使用间隔转换：

把表达式带入：

得到：

回忆一下，黑色箭头LC是由O观察到的长度收缩L ，长度OD = 1由O'沿着x'轴测量。我们如何计算黑箭头LC的长度？
利用上式，其中L_p=1 ，得到：

同时性的终结
我们在看时空图时发现，事件的同时性可以依赖于观察者的参照系。我们可以用间隔变换规则来进行代数表示

如果在坐标系S中两个事件同时发生，那么：

只要它们不发生在同一点，我们就可以说：

其中L为距离Δx 。这个方程是同时性相对性的代数公式。我们可以看到，对于非常低的速度（v＜＜c），有：

速度变换

上图显示了标准构型的两个惯性系，一个物体沿坐标系S的x轴以速度v_x运动。根据坐标系S'中的观察者，物体的运动速度v'是多少？对于这例子，伽利略的答案将是：

现在我们用洛伦兹变换来解决这个问题。我们可以使用两个间隔转换规则：

和

描述在坐标系S的x轴上发生的两个事件，如果我们用第二个方程除以第一个，得到：

接下来，我们将右边的顶部和底部表达式除以Δt：

如果我们让x轴上的两个事件越来越近，最终，当Δx和Δt接近0时，得到这两个事件的瞬时速度。上式则为：

这个方程告诉我们什么？
首先，如果和v_x和v ，与光速相比非常小，就会得到伽利略速度。其次，让我们考虑一下，如果物体现在是一束向坐标系S'相反方向移动的光线，会发生什么？在S'坐标系下，观测者测量光线的速度有多快？
狭义相对论的第二个假定指出，在所有惯性参照系中，光速在真空中的值c = 3 × 10^8 米每秒。根据第二个假设答案应该是-c 。但是速度变换给了我们什么？