几何学——想象力与创造力的天堂，不断改变人类理解世界的方式营口

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任何数学分支，不管多么抽象，有朝一日都要应用于真实世界的现象。

蒙日学派
一切数学分支当中，几何学最容易受到不同时代之间不断改变的口味的影响。在古典希腊，它攀上了最高峰，不料大约在罗马衰亡的那一时期跌落至谷底。在阿拉伯和文艺复兴时期的欧洲，它收复了一些失地；在17世纪，它站在了一个新时代的门槛上，不料差不多又被遗忘了将近两个世纪，至少是被搞研究的数学家所遗忘，在不断增加的分析学分支的阴影里凋敝枯萎。英国，尤其是整个18世纪后期，试图把欧几里得的《几何原本》恢复到它曾经的光荣位置上，但英国在这一学科的研究上几乎没有取得多少进步。
通过蒙日和卡诺的努力，纯几何在法国大革命时期有了一些复活的迹象，但几何学作为一个活的数学分支，其几乎是爆炸性的重新发现主要是随着19世纪的黎明而出现的。蒙日在高等理工学院的学生对这次几何学的新发展做出了重要贡献。反映了他们老师的研究的多样性，一些学生追求几何学对工程学的应用，有的人从事教学，还有人致力于几何学对物理学的应用；很多人是为了几何学本身而研究这门学科。
夏尔·迪潘最为人们所铭记的是他对曲面理论的贡献，在这一领域，他提出了诸如四次圆纹曲面等概念，那是由所有与一组球体相切的球体所围成曲面。西奥多·奥利维尔在创造几何模型以发展几何概念的可视化上比蒙日走得更远；这项工作开始了几何模型收藏的积累，到世纪末，通过费利克斯·克莱因的教学影响，得到了极大的促进。夏尔·朱尔斯·布里昂雄今天因为一个定理而最为人们所知，他重新确立了人们遗忘已久的帕斯卡尔定理，布里昂雄用现代的形式把这个定理表述为：

在任何内接于一条圆锥曲线的六边形中，相对边的三个交点始终在一条直线上。

他继续通过另外一些证明，得出了一个被冠以他的名字的定理：

任何外切于一条圆锥曲线的六边形的三条对角线相交于同一点。

帕斯卡尔和布里昂雄的定理是几何学中一对重要的“对偶”定理最早的明确实例，也就是说，如果把“点”和“线”这两个词互换，定理依然有效（在平面几何中）。如果我们把“一条直线与一条圆锥曲线相切”读作“一条直线在一条圆锥曲线上” ，则这两个定理可以表述在下面的组合形式中：

圆锥曲线上的点与线之间的这种关系，后来被另一位理工学院的校友有效地加以利用，此人后来成了射影几何的实际奠基者。他就是让-维克多·蓬斯莱，也曾受教于蒙日的门下。
射影几何：蓬斯莱与沙勒