几何学——想象力与创造力的天堂，不断改变人类理解世界的方式( 二 ) 营口

蓬斯莱身陷囹圄期间，写了一本论述解析几何的专著《分析在几何中的应用》，尽管它最初是打算作为他另一部更为著名的作品、1822年出版的《论图形的射影属性》的导论。后一部作品明显不同于前一部，因为就风格而言，它是综合的，而不是分析的。后来，他成了综合方法的忠实倡导者。他认识到，解析几何似乎拥有的优势就在于它的一般性，因此，他试图在综合几何中作出尽可能一般化的陈述。他为了促进这一计划，构想出了他所说的“连续性原理” ，或“数学关系的持久性原理” 。他把这一原理描述如下：

针对原始图形而发现的度量性质，对于所有被认为是源自于最初图形的相关图形都依然适用，除了符号改变之外，无需其他的修改。

作为这一原则的一个例证，蓬斯莱引用了一个圆内相交弦的线段乘积相等的定理，当交点在圆外的时候，这个定理成了割线线段乘积相等。如果其中一条线是圆的切线，定理依然有效，只要用切线的平方取代割线线段的乘积。在某种意义上，这个原则跟卡诺的观点并无不同，但蓬斯莱把它带到了更远，包括开普勒和德扎格曾经暗示过的无穷远点。因此可以说，两条直线必定会相交———要么相交于一个平常的点，要么（在平行线的情况下）相交于无穷远处的一点，称之为理想点。为了实现分析的一般性，蓬斯莱发现有必要在综合几何中不仅引入理想点，而且还要引入虚点，因为只有这样你才可以说，一个圆和一条直线必定相交。在他的惊人发现当中包括这样一条：在一个平面上画出的所有圆都有两个交点，被称作无穷远处的虚圆点，通常被表示为I和J 。
蓬斯莱认为，他的连续性原理———大概是从解析几何那里得到的暗示———完全是综合几何的一次发展。在18世纪下半叶，围绕解析法和综合法的优缺点，一直存在争论，尤其是在德国。 1759年，数学家兼历史学家、莱比锡和哥廷根大学的教授A.G.凯斯特纳认为，解析法在用试探法解决问题的时候高出一筹，提供了思考的力量，比较省事。
19世纪几何学的历史充斥着独立发现和重新发现的实例。另一个牵涉到蓬斯莱的例子是九点圆的发现。蓬斯莱与布里昂雄在热尔岗的1820~1821年的《年刊》上联合发表了一篇论文，尽管它的题目是“直角双曲线确定的研究” ，但其中包含了下面这个出色定理的证明：

从任意三角形的定点向它们的对边作垂直线，通过垂足的圆既通过各边的中点，也通过连接顶点与垂直线相交点所得线段的中点。

这个定理通常既没有被称作蓬斯莱定理，也没有被称作布里昂雄定理，而是用一个独立的德国数学家的名字来命名，他就是卡尔·威廉·费尔巴哈，他在1822年发表了这一结果。这篇短小的论文既包括了这个定理以及一些相关命题，也包括圆的几个引人入胜的属性的证明。其中包括这样一个事实：九点圆的圆心在欧拉线上，而且是垂心与外心之间的中点；以及“费尔巴哈定理”：任意三角形的九点圆内切于内接圆，并外切于三个旁切圆。美国几何学家朱利安·洛厄尔·柯立芝，把这个定理称作“初等几何中自欧几里得时代以来人们所发现的最优美的定理。 ”
应该指出的是，在整个19世纪，这样一些定理的魅力在很大程度上支撑了三角形和圆的几何学研究。除了雅各·施泰纳之外，这一领域最有名的贡献者大概是英国—美国几何学家弗兰克·莫利了。以莫利的名字命名的定理是这样：一个三角形各角的相邻三等分线的交点所构成的三角形是等边三角形。
回到蓬斯莱，我们之所以记得他，主要是因为他使用现有的德扎格的中心投影和无穷远点的概念来建立复射影平面的概念。基础是射影性质的研究，比如那些在透视下依然保持不变的属性。给定平面上的一个点O和一条直线l ，一个透视赋给每个点P以直线l上的一点P' ，使得：若Q是第二点，则OQ必定存在一点Q' ，使得PQ与P'Q'在l上相交。一连串的透视被称作直射。蓬斯莱再一次求助于德扎格使用过的方法，使阿波罗尼奥斯的极点和极线的概念走上了前台，正如我们已经指出的那样，他把自己的对偶原理归功于极点和极线的概念。