提到数学 ， 部分人觉得它枯燥无味 ， 但数学却又无处不在 。 数学不仅是科学的描述和研究事物规律的方法和工具 ， 还是人类逻辑思维文明的重要体现 ， 更是逻辑思维文明的发展平台 。 到底什么是数学美？让数学家沉醉的这些难题 ， 你能理解吗？
出品：格致论道讲坛
以下内容为中国科学院数学研究所博士生导师、研究员徐晓平演讲实录：
大家好 ， 我是徐晓平 ， 来自中国科学院数学研究所 。 一提到数学 ， 一般人都会觉得它太枯燥无味 。 但如果细细想、细细看 ， 它又无处不在 。 今天我就从逻辑的角度 ， 来向大家介绍一下数学的美 。
首先 ， 什么是数学？它是科学的描述和研究事物规律的方法和工具 ， 是人类逻辑思维文明的重要体现 ， 更是逻辑思维文明的发展平台 。
我曾经问一个法国教授：“数学有什么用？”他告诉我 ， 数学能使人更聪明 ， 数学的价值不能单靠物质上是否有用来衡量 。 美国华尔街的金融机构 ， 雇佣了大量的数学博士 ， 看重的就是他们的逻辑思维能力 。
分大饼里的素数之美
自然数1、2、3、4、5……出现在古代人类文明中有五千年以上的历史 。 可是人们对自然数的认识 ， 却是一个漫长发展的过程 。 比如说素数 ， 也称为质数 ， 是大于1的整数 ， 不能写成小于它的两个正整数之积 ， 例如2、3、5、7、11、13、17、19…… 。
素数最早出现在古代埃及分数中 。 如下图例子 ， 有5张大饼要平均分给8个人 ， 怎么分？先看古埃及怎么分 ， 将其中4张各切成两半 ， 剩下一张切成8块 ， 这样每个人的份额就是半块加1/8块 。
这是古埃及人刺在一种不易腐烂的树叶上的分配方案 ， 由考古学家发现的 。 用现代数学表示 ， 就是5/8等于1/2加1/8 。 它就是一个埃及分数 ， 即一个数是有限个分子为1的分数之和 。 古埃及人在这样的分配方案中 ， 意识到了素数的特性 。
对素数研究的记载 ， 最早出现在公元前300年的古希腊欧几里得的《几何原本》中 ， 欧几里得证明了有无穷多个素数 。
那么有没有更好的数素数方法呢？有 ， 这就是所谓的素数定理 。
【数学|这些让数学家感到兴奋的逻辑美，你能get到吗？】例如 ， 问小于X的正整数里有多少个素数时 ， 当X小的时候能数 ， X大了就很难数了 。 而根据素数定理就能知道 ， 当X充分大的时候 ， 这个值与X除于lnX的值相近 。
近看小于x的素数的个数看不出所以然 ， 远看它却表现出优美的规律：X除以lnX ， 这就是数学的美妙之处 。
这是18世纪末高斯和勒让德独立发现的 ， 但并不是由他们证明 。 他们的发现只是一种猜测 。 两人试图证明过 ， 但没有成功 。 后来Chebyshev（切比雪夫）在1851年 ， Riemann（黎曼）在1859年都尝试并取得了进展 ， 但还是没有完全解决问题 。 最终 ， 在1896年 ， 由Hadamard（哈达玛）和Poussin(普桑）独立地完成了证明 。
那素数有什么用？动物学家发现某些周期蝉（Magicicada）的演化用到了素数 。
这些虫的一生 ， 大多数时间以蛆的形式生活在地下 ， 到化蛹出地洞需要7、13或17年 ， 出来后婚飞繁殖 ， 最多几周就死亡了 。 为什么这些虫要素数年后才出洞呢？据说是为了减少被天敌追杀的概率 。
70年代 ， 素数成为了发明公钥密码算法的基础 ， 当然 ， 还是现代许多数学领域里发展的根基 。
远看才显现的公式之美
下面讲一个有趣的故事 。
上世纪初 ， 印度的天才数学家Ramanujan（拉马努金） ， 在剑桥大学见到Hardy（哈代）之前 ， 给Hardy写了一封信 ， 内含他发现的等式 。
左边是个无穷的连分式 ， 而右边却是个简洁的初等表达式 。 Hardy看到后说：“它完全击溃了我 ， 我之前一点也没有看过这样的东西 ， 只有一流的数学家才能写出来！” ， 这就是让人眼前一亮的数学 。
下面的例子则跟我们的日常生活有关 。 一个自然数n的分割函数 ， 是n个物体分配方案的个数 。
如下图 ， n等于2时有两种分法；n等于3有三种分法；当n等于4的时候就不是4种分法了 ， 而是5种分法；而n等于5 ， 有7种分法 。
再看一下数字 ， P（2）等于2 ， P（3）等于3 ， P（4）等于5 ， P（5）等于7 ， P（10）等于42 。 可以看到P（100）已经很大 ， 而到P（200）那就更大了 。 看了这组数据以后 ， 你可能会说增长太快了 ， 没法数 。
但是有人会数 。
Hardy和Ramanujan在1918年和Uspensky在1920年独立证明了：当n充分大时 ， P（n）与下图近似号右边初等函数的值相近 。
同样 ， 近看P（n）的数字跳跃的很厉害 ， 看不出什么规律 ， 远看却以一个初等函数的规律显示出来了 。
这个结果是猜不出来的 。 他们是用了数论里面的圆法 ， 经过复杂的计算得到的 。 他们做出了别人难以想象的结果 。 分割函数也常出现在量子物理中 。
数学的“残缺美”
听说过“残缺美”这个词吧？听到这个词 ， 我们很容易就会想到维纳斯女神的断臂雕像 。
如果不是断臂 ， 它只是一座普通西方女人的雕像 ， 谁也记不住 。 可是一断臂 ， 就让看过的人终生难忘 。 那么数学上有没有这样的事情呢？有 。
1637年费尔马在阅读丢番图《算术》的拉丁文译本时在书里写到：“不可能把一个正整数的三次方 ， 分成两个正整数的三次方之和；不可能把一个数的四次方 ， 分成两个正整数的四次方之和；对正整数的更高次幂也类似 。 我发现了一个奇妙的证明 ， 但这个空格太小了 ， 写不下 。 ”
这就是所谓的费尔马大定理 。 用公式写就是 ， 对大于2的整数n ， 不存在正整数a、b、c ， 使得a的n次幂加b的n次幂等于c的n次幂 。 其实费尔马自己只证明了n等于4的情形 。 欧拉证明了n等于3的情形 。 最终在其提出358年后的1995年 ， 由普林斯顿大学的Andrew Wiles教授所证明了 ， 现在他在英国牛津大学 。
由于没有看到费尔马留下的奇妙证明 ， 人们在尝试证明它的过程中发展了代数数论、椭圆曲线理论、Hecke代数理论等 。
如果费尔马真的证明了 ， 并把证明留下来 ， 那么这些理论的发展就很可能延缓 ， 所以这就是数学的“残缺美” 。
还有没有解决的数学难题吗？有 。 对中国来讲 ， 最熟悉的就是哥德巴赫猜测 。 一个大于2的偶数都可以写成两个素数之和 ， 这就是所谓的“1＋1”问题 。
例如4等于2加2 ， 6等于3加3 ， 8等于3加5 ， 10等于3加7 ， 也等于5加5 ， 12等于5加7等等 。 人们用计算机验证了所有小于等于4乘10的18次方的偶数 ， 结论都对 。 可是到现在为止 ， 人们仍然无法证明它 。
1973年 ， 我国著名的数学家陈景润证明 ， 一个大于2的偶数可以写成两个素数之和 ， 或一个素数加上两个素数之积 。 这就解决了所谓的1加2问题 ， 这是该方向迄今为止最好的结果 。
除此之外 ， 还有一个问题叫孪生素数猜测 。 即存在无穷多个素数p ， 使得p+2也是素数 ， 这是个千古之谜 。
2013年 ， 华人数学家张益唐证明了：存在无穷多个素数 ， 使得从p到p加7000万这个区间内也含素数 。 这是数论领域里面一项革命性的工作 。
在这之前人们不知道是否有这样的有限区间存在 ， 在这之后格林和陶哲轩等人用张益唐的方法 ， 把7000万改到200 ， 取得了很大的进展 ， 但离最后的结果2还相差很远 ， 方法上还需要改进 。
我们常看到星星 ， 但可能没注意到一个多体问题 。 物理学家和数学家一直试图找出相互有引力的n个物体的运动轨迹 。 当n等于2时 ， 已经被约翰·伯努利在17世纪解决；但当n大于2时 ， 却至今没有解决 。
2007年我在解n个物体在一条直线上的特殊模型时 ， 发现了具有高斯超几何函数3个基本性质的多元超几何函数 。 在1798年的博士论文中 ， 高斯引进了著名的单变元超几何函数 ， 它的重要性就是由这三个基本性质导出的 。
流体我们都熟悉 ， Navier-Stokes方程就是流体力学中基本方程 。
对任意给定的一个光滑的初始条件 ， 是否有光滑的整体解？这是数学界一个长期未解的问题 ， 也是著名的千禧年难题之一 ， 如果谁能解决就能得到一百万美元的奖金 。
2009年我利用该方程的代数特点和运动变化 ， 得到了一些能反映特殊物理现象的奇异解 ， 如漩涡 。 当然 ， 还有许多数学问题有待人们去探索 。
解未解之谜题 ， 攀未攀之高峰
也许你会问 ， 数学家为什么要努力解决这些问题？因为这些问题是逻辑思维的标杆 ， 解决它们就代表人类逻辑思维能力达到了新的高度 ， 就像登山爱好者攀登高峰一样 。
1993年我去西班牙参加一个代数会议 ， 在会议间歇期间 ， 我问一位来自美国威斯康星大学的资深教授 ， 为什么在他报告的Novikov代数分类中 ， 要假设特定的条件 。 他说没有这些条件我做不出来 。
回到单位我很好奇地自问 ， 没有这些条件的障碍在哪？在办公室想 ， 在家想 ， 都没想出个所以然来 。
但在某一次登山的过程中 ， 我又想了想 ， 突然灵光一闪 ， 想到了扫除这些障碍的方法 ， 当时我觉得比别人中彩票还高兴 。 数学家一旦解决长期未解决的问题 ， 他的喜悦绝对超过挣到一百万块钱 。
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