对数论学家而言 ， 存在两个宇宙 。 第一个宇宙中 ， 存在朗道-西格尔零点 ， 第二个宇宙中 ， 不存在 。 “我们的困惑是：现在到底生活在哪个宇宙里？”
这种类似平行宇宙的设定 ， 让人印象深刻 。 这段话出自美籍华裔数学家、美国加州大学圣塔芭芭拉分校数学系教授张益唐 。 几百年来 ， 数学家们一直在试图回答这个问题 ， 现在 ， 张益唐似乎给出了初步答案 。
11月4日上午 ， 张益唐向预印本平台arXiv提交了一份长达111页的论文《离散平均数估计和朗道-西格尔零点》 ， 论文尚未接受同行评审 。 论文部分证明了朗道-西格尔零点不存在 。 专家指出 ， 这一成果可能比之前让张益唐“一战成名”的孪生素数猜想还要重大 。 如果张益唐的研究经证明是正确的 ， 将推动多个数学领域全方位的进步 。
11月8日上午 ， 张益唐在北京大学做线上学术报告时说：“这一次解决朗道-西格尔零点 ， 确实是在大海里落针 。 ”他介绍 ， 在解决其中关键步骤时 ， 曾尝试了各种办法和工具 ， 但最后一步就是跨不过去 ， 后来想到了一个新的想法：通过引进四个序列 ， 最终推出了矛盾 。 “能做到这一步 ， 我是幸运的 ， 只有把一些事情做到极致 ， 才能找到这样的关系式出来 。 ”
（资料图片）张益唐 。 图/王旭华
“梦寐以求去证明零点不存在”
11月5日上午 ， 山东大学举办了一场关于张益唐朗道-西格尔零点猜想的研讨会 ， 会上 ， 张益唐夫人孙雅玲感慨：“他钻研数学钻得有点神经了 ， 每天早上七点多天蒙蒙亮 ， 拄着拐杖、背着书包就走了 。 晚上走回家就七点了 。 回到家 ， 研究做不出来就一直嘟囔：‘零点、零点’ ， 连我都知道零点了 。 我就想了个办法 ， 每天晚上把菜准备好 ， 让他回来炒菜 ， 把注意力分散一点 。 ”
朗道-西格尔零点究竟是一个什么问题？
张益唐曾说 ， 他梦寐以求地是“想去证明这样一个零点不存在” ， 因为一旦发现零点存在 ， 整个广义黎曼猜想就错了 。
无论广义黎曼猜想还是黎曼猜想 ， 都是为了解决素数的分布问题 。 素数指的是一类大于1的自然数 ， 只能被1和它自身整除 。 素数研究是数论中的一个根本问题 ， 如果能破解它的分布之谜 ， 很多现有的猜想都能得到答案 。
早在18世纪 ， 人类就已经证明素数无限多 ， 但对于素数的分布有很多困惑 。 19世纪 ， 在瑞士数学家欧拉的研究基础上 ， 黎曼构建了黎曼ζ函数 ， 并且认为素数分布只与黎曼ζ函数的一种类型零点有关 。 原始的黎曼猜想是 ， 所有这些零点都分布在实部等于二分之一的一条垂直线上 。
黎曼猜想提出后 ， 为研究等差数列上的素数分布问题 ， 德国数学家狄利克雷1837年又引入了狄利克雷L函数 ， 相当于上述黎曼函数的推广形式 。 数学家们推测 ， 狄利克雷L函数上的零点也都位于实部等于二分之一的直线上 ， 这就是广义黎曼猜想 。 如果证明了广义黎曼猜想 ， 也就等于证明了黎曼猜想 。
虽然黎曼猜想和广义黎曼猜想一直没有被证明 ， 但数学家们基本默认了其真实性 ， 除了一个例外 ， 就是朗道-西格尔零点 。 德国数学家西格尔和其导师朗道在研究狄利克雷L函数时发现一个反例 ， 一个异常零点可能不分布在那条直线上 。 这在一定程度上推翻了广义黎曼猜想 。
朗道和西格尔后来又通过一些方法证明了这样的反例零点最多只有一个 ， 但数学家们一直致力于证明：这样的反例并不存在 。
西安交通大学数学与统计学院教授郗平对《中国新闻周刊》说 ， 朗道-西格尔零点是近百年前人们在研究狄利克雷L函数时所发现的“怪物” 。 它若存在 ， 那么原始的黎曼猜想就无法直接推广到狄利克雷L函数的情形 。 朗道和西格尔等人分别对这一特殊零点的位置给了“初步的控制” ， 但因方法所限 ， 其中涉及的常数无法定出 ， 这给很多数学中的应用带来本质障碍 。
这也是为什么张益唐的证明如此重要 ， 因为一百多年来 ， 零点问题一直是解决很多数论问题的瓶颈 ， 很多专家都对其发起了“进攻”但最终失败 。
张益唐的思路有何创新和突破之处？
张益唐的博士生、现在加拿大女王大学数学与统计学读博后的阮大卫对《中国新闻周刊》解释 ， 张益唐使用了一种经典的证明策略“矛盾证明法” 。 他首先假设朗道-西格尔零点“以弱形式存在” ， 结果发现 ， 这会导致狄利克雷L函数中其他零点以非常规则的间距排列起来 ， “就像游行中的士兵队伍一样” 。
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