诺贝尔物理学奖|刚刚,2021诺贝尔物理学奖颁给了研究复杂物理系统的他们( 三 )


这个界面变化的过程 , 数学上可以用一个高度函数来描述 , 这个函数随着时间演化而变化 , 因此是空间坐标和时间的函数 。 Kardar , Parisi和张翼成于1986年提出用如下的偏微分方程来描述[9]:

诺贝尔物理学奖|刚刚,2021诺贝尔物理学奖颁给了研究复杂物理系统的他们
这个过程区别于一般的布朗运动方程的地方在于 , 它是一个非线性方程 , 上面公式中的h对x导数的平方项是非线性的 。 如果我们抛开这个非线性项 , 剩余的部分里是一个高斯噪声 , 期望值为0 , 时间空间的关联函数也为0 , 我们得到的就是个普通的随机热方程 , 可以通过傅立叶变化求解 。 这个非线性项也是KPZ方程核心的项 , 刻画了高度函数的局部的梯度对边界增长的贡献 。 换言之 , 局部看界面会有沿着法向的增长 , 这个增长投影到高度函数上就会给出一部分贡献 。 KPZ方程给出了一个特别的普适类(KPZ universality class) , 涨落的标准差(或简单理解称边界区域的宽度)是按时间的三分之一次方演化的(growth exponent

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