撰文 | 白德凡
审校 | 王昱
图片来源：pixabay
你对自己的朋友数量感到满意吗？你有没有试着评估一下 ， 自己的朋友数量在朋友圈中处于什么水平？如果是怀着攀比的心理去对比 ， 数学家会告诉你 ， 结果很可能会让你失望 ， 你拥有的朋友总是不如你朋友平均拥有的朋友多 。 这个数学上的证明结果有些违反直觉 ， 人们称之为“友谊悖论” 。 我们该如何解释这个悖论？现实中的社交网络真如悖论所反映的那样吗？
你的朋友圈里或许有那么一两个社交达人 ， 每天晒着和不同人的合照 ， 一条动态就能引来上百个点赞；又或许有一两个社交恐惧症患者 ， 朋友圈长期关闭 ， 一年到头也收不到他的一条消息；当然更多的还是普通人 ， 三五好友 ， 不多但也满足交友需求 。 面对这些天差地别的交友情况 ， 你有没有试着评估一下 ， 自己的朋友数量在朋友圈中处于什么水平？是你自己拥有的朋友更多呢 ， 还是你的朋友平均拥有的朋友更多？
友谊悖论
这里有种直观的评估方式 。 假设我有4个朋友 ， 分别是小红、小绿、小蓝和小黄 。 小红有3个朋友 ， 小绿有5个朋友 ， 小蓝也有5个朋友 ， 小黄比较受欢迎 ， 有7个朋友 。 要评估我的朋友数量的多少 ， 很自然会想到以朋友们的平均情况为参考 。 那么我们可以定义一个数值表示我的“受欢迎度”：用我拥有的朋友数量减去我的朋友拥有的朋友数量的平均数 。 在这个例子里 ， 我的受欢迎度是
4-(3+5+5+7)/4= -1
很不幸是个负数 ， 这意味着 ， 我拥有的朋友数量比不上我朋友平均拥有的朋友数量 ， 或者说 ， 我不如我的朋友那么受欢迎 。 当然 ， 这只是随手举出的个例 ， 现实生活中的人 ， 朋友有多有少 ， 受欢迎度一定也有正有负 。 如果我们统计足够多的人 ， 计算他们的受欢迎度的平均值 ， 会不会正负相消 ， 得到一个接近于零的 ， 没有倾向性的结果呢？
出乎意料的是 ， 有人证明了 ， 受欢迎度的平均值永远是一个负数 。 数学上有专门的工具来研究类似社交网络这样的复杂关系网 。 数学家用“图”（graph）来描述交际网络 ， 每个人由一个节点（node）代表 ， 如果两个节点被一条边（edge）链接起来 ， 这两个节点就成为了“邻居”（neighbor） ， 这也代表着相应的两个人互为朋友 。 一个节点的邻居数量称作这个节点的“度”（degree） ， 在社交网络里 ， 它代表着一个人的朋友数量 。 我们在前文定义的一个人的“受欢迎度” ， 即是用对应节点的度减去其各邻居的度的平均值 。 通过这个转换 ， 数学家们可以用数学方法来研究社交网络的特征 。
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