数的发明与发现之争：人的世界毁灭，数的世界仍在？( 九 )_按：或许你在人生最后一次数学考试结束

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另一方面，形式主义学派并不试图给数学对象赋予任何意义。这个学派最主要的提倡者是德国数学家大卫·希尔伯特（1862—1943），在这个学派的解决途径中，被直接认定为正确的命题称为“公理”，其目标是使用少数公理来定义数学理论，从这些公理出发，由逻辑推理规则推导出数学定理。形式主义学派对数字的本质，或数字是否有意义的问题毫无兴趣；他们只是关心数字的形式化性质，即支配它们关系的规则，任何遵循这些规则的对象之集合都可以被当作数来看待。最能表达形式主义学派观点的是归于希尔伯特名下的一段著名言论：“数学是一种符号游戏，其游戏规则简单，而符号毫无意义。”

直觉主义学派发端于布劳威尔（1881—1966），这个学派是非柏拉图主义的，因为其哲学以“数学是人类大脑的创造”这一观念为基础。由于数学陈述是思维建构，陈述的正确性归根到底是由数学家的直觉所认定的主观断言，数学的形式化只不过是人们交流的工具。“排中律”是传统逻辑的一条基本规律，它规定：一个命题要么是正确的，要么是不正确的。直觉主义否认排中律的正确性，因而大大地偏离了经典数学和其他哲学流派。对于什么样的证明可以被接受的问题，直觉主义显得尤其特别。对直觉主义者而言，一个数学对象，比如一个方程的解，只有在可以被明确地构造出来时，其存在性才会被认可。这是与经典数学相抵触的，在经典数学中，如果数学对象不存在的假设可以推导出矛盾，则该对象的存在性就得到证明。换句话说，经典数学可以用反证法来作存在性证明，而直觉主义则要求使用明确的构造性证明。然而，最主要的区别更在于直觉主义者对待“无穷”的态度。对于直觉主义学派，关于有限数的算术通常仍然是正确的，在这方面它与经典数学有很多共同之处。