数的发明与发现之争：人的世界毁灭，数的世界仍在？( 八 )_按：或许你在人生最后一次数学考试结束

根据鲁本·赫尔斯的观点，柏拉图主义“表达了关于数学的正确认识，数学事实与数学实体是存在的，它们不服从于数学家个人的意志和奇想，却将客观事实与实体强加到数学家的脑子里”。但是，依他的看法，“柏拉图主义的谬误之处在于它对这种客观真实的错误解释，将它放置于人类文化与知觉之外。正如其他许多文化真实，从任何个体的观察角度看，它们是外在的和客观的；但从社会或文化的整体角度看，又是内在的、历史的、受到社会制约的”。

4、数学的哲学

20世纪初，哲学家、逻辑学家和数学家曾经尝试给数学的大厦建立合适的基础，这导致了所谓的“数学基础危机”。由此，涌现出若干学术团体，相互激烈攻讦，相互间对正确途径的观点差异极大。在20世纪的上半叶，最有影响的三个派别被称为逻辑主义学派、形式主义学派以及直觉主义学派。由于数字是数学的基本要素，不同的哲学派别关于数字的观念也各执己见。

例如，逻辑主义学派最著名的成员是德国数学家戈特洛布·弗雷格（1848—1925)）和英国数学家伯特兰·罗素（1872—1970），他们试图将所有数学都建立在逻辑的基础之上。特别地，他们相信，应该以集合论的基本实体来确定数字，而算术则应该由第一逻辑原理推导而来。这是一个重要的目标，因为所有传统的纯数学，事实上都可以从自然数的性质以及纯粹的逻辑命题推导出来。这种思想早在德国数学家里查德·戴德金（1831—1916）的著作中就已出现，他在1889年写道，“我觉得，数的概念完全独立于关于时间和空间的直觉和观念……我宁愿认为它是纯粹的思想法则的直接产物。”罗素在1903年写道：逻辑主义的目标是“证明所有纯数学仅仅处理由极少数基本逻辑概念定义的概念，它的所有命题都可以由极少数的基本逻辑原理导出”。逻辑主义的计划是将数字观念还原为基于纯逻辑的基本概念，以“建立整个序数理论，将其作为逻辑学的特殊分支”。以这种方式，罗素希望能够赋予数字概念以明确的意义。