|切与割有什么区别？到底什么是切线？切点真的是一个点吗？( 五 )

2021-11-06

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密切圆有个与切线类似的性质，在它与曲线之间，不存在其他与曲线相切的圆。这就是为什么称其为密切的原因。好比一对伴侣，情之密切，绝不容外人介入。
一些特殊的曲线的密切圆会形成美妙的图案，典型的案例是阿基米德螺线。阿基米德螺线，也称等速螺线，是一个点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动而产生的轨迹。在极坐标系中，这种曲线可表示为
$r=a+b\theta$ 下图这个看起来像蚊香盘的东东就是这种曲线。

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沿着等速螺线从内到外，画出半径逐渐增大的密切圆，形成如下奇特的图案(点击看大图) 。可以看出，这本身提供了一种画等速螺线的办法，因为相邻的圆的切点移动的轨迹正好就是螺线本身。

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再发个动图娱乐一下吧。

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关于阿波罗尼奥斯给出的切线定义就介绍这么多吧。
第二个切线定义，也是现代被广泛接受的切线定义，源于德国伟大的数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz ， 1646－1716）。

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他给出的定义非常简单：切线就是曲线上的割线在两个交点无限接近时所对应的那条直线。

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如上图所示，红色线是一条割线，它与曲线交于两点。让其中一个交点固定不动，而让另一个交点沿着曲线不断靠近那个不动点，在这个过程中，割线不断旋转。

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